Como usar este guia
Três trilhas, um caminho
Construí este roadmap com base na minha experiência durante a graduação e o mestrado em Matemática. Atualmente estou em transição para Engenharia de IA, e continuo mantendo um forte foco no pensamento matemático.
O plano pode parecer overkill, e de certa forma é. Vinte e oito fases não é algo que se faz em dois anos, nem que a maioria das pessoas precisa fazer por completo. Por isso as trilhas existem: para que cada um encontre um ponto de chegada realista antes de começar.
Mesmo que você faça apenas um livro desta lista, já terá obtido algo concreto. Cada livro foi escolhido com cuidado, com base na minha experiência durante o bacharelado e o mestrado em matemática, não são indicações de segunda mão nem listas compiladas de fóruns. São livros que funcionam para quem estuda sozinho, na ordem em que estão, com o papel que está descrito.
Uma observação importante sobre o escopo: esta lista contempla, a priori, matemática pura. Livros mais aplicados, de probabilidade, estatística, ciência de dados, machine learning e áreas afins não estão aqui, e a ausência é intencional. Este roadmap foi feito pensando em quem enxerga a beleza da matemática e deseja explorá-la de maneira bruta, pelo prazer do rigor e da abstração. Uma lista voltada para matemática aplicada e computacional será explorada em outra ocasião.
A ordem importa. Os papéis de cada livro importam. E os critérios de progressão importam mais do que a velocidade. Escolha sua trilha antes de começar.
Trilha Básica
Para quem quer saber mais matemática do que a média. Cobre pré-cálculo, demonstrações, cálculo rigoroso e análise na reta.
Trilha Graduação
Cobre os principais eixos de uma graduação em matemática: análise, álgebra e geometria/topologia.
Trilha Completa
Para quem deseja se tornar um matemático no sentido real: mestrado, doutorado, pesquisa. Intenso e profundo. Entre com uma direção em mente.
O tempo que cada fase leva depende muito do ritmo, da experiência prévia e do quanto a pessoa se dedica. O que importa não é velocidade, mas consistência. Quem avança devagar e sem interrupção chega mais longe do que quem corre e para.
Antes de começar
Como estudar um livro de matemática
Estudar matemática é diferente de estudar qualquer outra coisa. Um capítulo de dez páginas pode levar uma semana. Isso não é lentidão: é o processo funcionando corretamente.
"Don't just read it; fight it! Ask your own questions, look for your own examples, discover your own proofs."— Paul Halmos
Alguns pontos práticos que valem ser ditos explicitamente, especialmente para quem estuda sozinho.
Uma última observação antes das dicas: não é necessário terminar os livros de capa a capa, nem fazer todos os livros de uma fase. Cada fase tem uma seção "O que absorver" com os tópicos essenciais, e os livros estão marcados como Principal, Complementar ou Referência. O mínimo para avançar é o livro Principal com os tópicos essenciais absorvidos. Os complementares e referências existem para quem quer mais profundidade ou uma segunda perspectiva, não como obrigação.
Lápis e papel são obrigatórios
Matemática não se aprende lendo. Se aprende fazendo. Refaça cada demonstração no caderno antes de passar para a próxima. Se não conseguir reproduzir sem olhar, ainda não entendeu.
Trave e fique travado
Ficar horas num exercício sem resolver é parte do processo, não sinal de fracasso. A resistência é onde o aprendizado acontece. Só consulte a solução depois de ter tentado de verdade.
Leia as hipóteses dos teoremas
Para cada teorema, pergunte: por que cada hipótese é necessária? Tente construir um contra-exemplo que quebre o resultado se você remover uma delas. Esse exercício vale mais do que decorar o enunciado.
Exemplos antes da generalidade
Antes de tentar entender um conceito abstrato, construa dois ou três exemplos concretos. Em álgebra: verifique os axiomas num grupo pequeno. Em análise: teste a definição numa função simples. A abstração vem depois, não antes.
Não decore definições
Decorar a definição de limite sem entender o que ela diz é inútil. O objetivo é ser capaz de usá-la para provar coisas, não recitá-la. Se você só consegue repetir, ainda não aprendeu.
Não avance com dúvidas em aberto
Matemática é cumulativa de forma muito mais severa do que outras áreas. Uma lacuna no capítulo 2 aparece como muro no capítulo 6. Avance apenas quando o critério de transição da fase estiver realmente cumprido.
Não troque o livro a cada dificuldade
A tendência de trocar de livro quando o atual fica difícil é um dos maiores inimigos do autodidata. Dificuldade no livro certo é sinal de que você está aprendendo. Os complementares existem para ajudar, não para substituir.
Não subestime o pré-cálculo
A maioria das pessoas que trava no Cálculo trava antes, em manipulação algébrica e funções elementares. Resistir à tentação de pular a Fase 1 por achar que "já sabe" é uma das decisões mais importantes deste roadmap.
Uma nota sobre o inglês
Grande parte da literatura matemática de referência está em inglês, e não existe tradução para a maioria dos livros desta lista. Um inglês básico de leitura é suficiente: o vocabulário técnico se aprende rápido, e a linguagem matemática em si é universal. Se o inglês for uma barreira no momento, comece pelos livros nacionais de cada fase e vá avançando. Evite deixar isso se tornar um impedimento permanente.
Trilha Básica
Fases 1–6 · Para quem quer saber mais matemática do que a média · Ponto de saída natural para entusiastas
O objetivo é passar por aqui o mais rápido possível, sem pular etapas. Quem trava no Cálculo quase sempre trava antes: manipulação algébrica, funções elementares, trigonometria. Use o Iezzi como consulta, identificando os pontos de defasagem e indo direto neles.
Livros
- Operações algébricas e fatoração
- Funções e seus gráficos
- Funções exponencial, logarítmica e trigonométricas
- Equações e inequações
- Geometria analítica básica
Mínimo para avançaros tópicos acima, usando o Iezzi como guia nos pontos de defasagem
- Manipula expressões algébricas e funções sem hesitar
- Conhece o comportamento das funções elementares e seus gráficos
- Resolve equações e inequações sem precisar consultar receitas
Uma das fases mais importantes do roadmap inteiro. Matemática não é cálculo. É demonstração. Aqui você aprende a linguagem: quantificadores, implicação, negação, indução, contradição, contrapositiva. Sem isso, tudo que vem depois é mecânico e frágil.
Livros
- Lógica proposicional e quantificadores
- Implicação, negação, contrapositiva
- Demonstração por indução
- Demonstração por contradição
- Conjuntos, funções, relações
Mínimo para avançaros tópicos acima dominados: consegue escrever demonstrações sem consultar modelo
- Entende o que significa provar algo, e não apenas calcular
- Consegue escrever uma demonstração por indução, contradição ou contrapositiva sem consultar modelo
- Sabe a diferença entre ∀ e ∃ e como negar cada um
O coração do Cálculo é o limite. Esta fase não usa livros fáceis como o Stewart (simples demais para este roadmap) ou o Guidorizzi (desmotivado e pedestre). O Caminha é o texto principal; o Táboas entra como complementar para reforçar e ampliar.
Livros
- Definição de limite e continuidade
- Derivadas e regras de derivação
- Teorema do Valor Médio e aplicações
- Integral de Riemann e Teorema Fundamental do Cálculo
- Sequências e séries: convergência, critérios
- Séries de potências e de Taylor
Mínimo para avançaros tópicos acima, usando o Caminha como fio condutor
- Calcula limites usando a definição, não apenas regras
- Entende por que uma função contínua num intervalo fechado atinge máximo e mínimo
- Sabe o que é série convergente e testa convergência com pelo menos três critérios
Independente do Cálculo, pode rodar em paralelo. Este primeiro contato serve como preparação para a Álgebra Linear da Trilha Graduação, quando o assunto é tratado com a profundidade que merece. Evite livros como o Boldrini ou o Steinbruch: ensinam a calcular sem entender.
Livros
- Sistemas lineares e escalonamento
- Espaços vetoriais, subespaços, base e dimensão
- Transformações lineares e matrizes
- Determinantes
- Autovalores, autovetores e diagonalização
- Produto interno e ortogonalidade
Mínimo para avançaros tópicos acima, usando o Plácido Andrade como fio condutor
- Entende o que é um espaço vetorial e sabe verificar os axiomas
- Consegue trabalhar com base, dimensão e transformações lineares
- Calcula autovalores e entende o que eles significam geometricamente
Estende o Cálculo para funções de várias variáveis, culminando nos teoremas de Green, Stokes e Gauss, que serão unificados e generalizados na Análise em Variedades mais à frente.
Livros
- Derivadas parciais, gradiente e jacobiano
- Regra da cadeia em várias variáveis
- Extremos locais e multiplicadores de Lagrange
- Integrais múltiplas e mudança de variáveis
- Teoremas de Green, Stokes e Gauss
- Campos vetoriais e campos conservativos
Mínimo para avançaros tópicos acima. Qual livro usou não importa
- Calcula e interpreta o jacobiano de uma transformação
- Monta integrais múltiplas com mudança de variáveis
- Entende o Teorema de Stokes como generalização do Teorema Fundamental do Cálculo
Esta é a fase mais transformadora do roadmap. Análise Real rigoriza tudo que foi feito no Cálculo. Não corra aqui. É a culminação de todo o estudo anterior. Quem fizer bem esta fase e decidir parar já sabe mais matemática do que a maioria das pessoas.
Livros
- Construção dos números reais e completude
- Topologia da reta: abertos, fechados, compactos
- Definição ε-δ de limite e continuidade
- Teorema do Valor Intermediário e Heine-Cantor
- Diferenciabilidade e Teorema do Valor Médio
- Integral de Riemann: definição e propriedades
- Convergência pontual e uniforme de séries de funções
Mínimo para avançaros tópicos acima com rigor real: não basta calcular, é preciso demonstrar
- Prova o Teorema do Valor Intermediário e Bolzano-Weierstrass a partir das definições
- Entende completude dos reais e por que ela importa
- Distingue convergência pontual e uniforme de sequências de funções
Trilha Graduação
Fases 7–13 · Cobre os principais eixos de uma graduação em matemática: análise, álgebra e geometria/topologia
O primeiro contato nas fases anteriores serviu como preparação. Aqui o assunto é tratado com a profundidade que merece. Álgebra Linear é o alicerce de praticamente toda a matemática: sem ela não se avança em Análise, Geometria ou Topologia. Não a negligencie.
Livros
- Espaços vetoriais sobre corpos gerais
- Operadores lineares e sua estrutura
- Polinômio mínimo e polinômio característico
- Forma canônica de Jordan
- Formas bilineares e o teorema espectral
- Espaços com produto interno sobre ℂ
Mínimo para avançaros tópicos acima pelo Coelho. Hoffman & Kunze é aprofundamento, não pré-requisito
- Trabalha com espaços vetoriais sobre corpos gerais
- Entende a forma canônica de Jordan e sabe construí-la
- Domina formas bilineares e o teorema espectral
Primeiro contato sério com as estruturas algébricas fundamentais. O objetivo são os capítulos 0–19 do Gallian ou 1–26 do Pinter. A chance de se interessar verdadeiramente por álgebra após estes tópicos é altíssima.
Livros
- Grupos, subgrupos, grupos cíclicos
- Homomorfismos e teoremas de isomorfismo
- Grupos quociente e teorema de Lagrange
- Anéis, ideais e anéis quociente
- Domínios de integridade e corpos
- Polinômios e extensões de corpos (introdução)
Mínimo para avançaros tópicos acima. Caps. 0–19 do Gallian ou 1–26 do Pinter cobrem o essencial
- Prova o Teorema de Lagrange e entende suas consequências
- Sabe o que é homomorfismo e prova o Primeiro Teorema do Isomorfismo
- Entende grupos quociente e anéis quociente
Teoria dos Números é uma das áreas mais antigas e belas da matemática, com questões simples de enunciar e profundas de resolver. Nesta fase o estudo vai da aritmética clássica até os primeiros resultados que conectam números, álgebra e análise. A base algébrica construída na fase anterior (grupos, anéis, corpos, aritmética modular) aparece aqui em plena ação.
Livros
- Divisibilidade, algoritmo de Euclides e fatoração única
- Congruências e aritmética modular
- Teorema de Fermat, Euler e Wilson
- Resíduos quadráticos e lei de reciprocidade quadrática
- Funções aritméticas: φ de Euler, função de Möbius
- Equações diofantinas elementares
Mínimo para avançaros tópicos acima pelo Burton
- Demonstra o Teorema de Fermat e o Teorema de Euler
- Trabalha com congruências e resíduos com segurança
- Entende a lei de reciprocidade quadrática e seu enunciado
Aqui a derivada é uma transformação linear. O resultado central é o Teorema Geral de Stokes, que unifica Green, Gauss e Stokes-Kelvin num resultado só. Pré-requisito direto para a Geometria Diferencial.
Livros
- Derivada como transformação linear: diferencial
- Teorema da função implícita e da função inversa
- Variedades no caso euclidiano
- Formas diferenciais elementares
- Integração em variedades e Teorema Geral de Stokes
Mínimo para avançaros tópicos acima. Cipolatti + caps. de formas e Stokes do Munkres, ou Munkres completo
- Entende a derivada como transformação linear
- Enuncia e aplica o Teorema da Função Implícita
- Entende o Teorema Geral de Stokes como resultado unificador
O framework que unifica e generaliza os conceitos de vizinhança, continuidade e convergência que apareceram em Análise. Pré-requisito para quase tudo nas fases avançadas.
Livros
- Espaços métricos: convergência, completude, compacidade
- Definição axiomática de espaço topológico
- Bases, subespaços e topologia produto
- Continuidade, homeomorfismos
- Compacidade e teorema de Tychonoff
- Conexidade e conexidade por caminhos
- Espaços de separação: Hausdorff, normal
Mínimo para avançaros tópicos acima. Elon cobre espaços métricos; Munkres parte I cobre topologia geral
- Trabalha com a definição axiomática de espaço topológico
- Entende compacidade e por que ela importa
- Distingue conexidade de conexidade por caminhos
Funções diferenciáveis sobre os complexos têm propriedades surpreendentemente rígidas: diferenciável uma vez implica diferenciável infinitas vezes e analítica. O Teorema de Cauchy e a teoria de resíduos têm alcance muito maior do que parecem à primeira vista. Escolha o Soares como principal e complemente com o Bak ou o Palka.
Livros
- Funções analíticas e condições de Cauchy-Riemann
- Integral de linha no plano complexo
- Teorema de Cauchy e fórmula integral
- Séries de Taylor e Laurent
- Singularidades e classificação
- Teorema dos resíduos e aplicações
Mínimo para avançaros tópicos acima, usando o Soares como fio condutor
- Entende as condições de Cauchy-Riemann e sua interpretação geométrica
- Aplica o Teorema de Cauchy e calcula integrais pelo Teorema dos Resíduos
- Expande em série de Laurent e classifica singularidades
EDOs modelam praticamente todos os fenômenos dinâmicos da física, biologia e engenharia. A perspectiva qualitativa (plano de fase, equilíbrios, estabilidade) é tão importante quanto os métodos de solução explícita.
Livros
- EDOs de primeira ordem: separáveis, lineares, exatas
- EDOs lineares de ordem superior
- Teorema de existência e unicidade (Picard-Lindelöf)
- Sistemas lineares de EDOs e método dos autovalores
- Análise qualitativa: plano de fase, equilíbrios, estabilidade
Mínimo para avançaros tópicos acima, usando o Kreider como fio condutor
- Enuncia e aplica o Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf
- Resolve sistemas lineares de EDOs usando autovalores
- Analisa estabilidade de equilíbrios pelo plano de fase
Teoria de Galois é onde a álgebra abstrata converge numa das teorias mais elegantes da matemática. Extensões de corpos, grupos de Galois, teorema fundamental de Galois. E no fim, uma resposta definitiva para uma pergunta de séculos: por que não existe fórmula geral para equações de grau 5? Se a Álgebra I já despertou interesse, esta fase vai confirmá-lo.
Livros
- Extensões de corpos: grau, extensões algébricas e transcendentes
- Corpo de decomposição e extensões normais
- Grupo de Galois e sua ação
- Teorema Fundamental de Galois
- Insolubilidade por radicais para grau ≥ 5
- Construções por régua e compasso
Mínimo para avançaros tópicos acima pelo Stewart
- Entende o enunciado e a prova do Teorema Fundamental de Galois
- Consegue calcular o grupo de Galois de extensões concretas
- Entende por que o grupo simétrico S₅ implica insolubilidade por radicais
Trilha Completa
Fases 14–28 · Para quem deseja seguir na pesquisa matemática · Intenso e profundo · Entre com uma direção em mente
Uma introdução à análise moderna com aplicações diversas. Fase opcional, mas útil como preparação para Medida, Funcional e EDPs. Conecta o que foi estudado nas fases anteriores com as ferramentas mais avançadas.
Livros
A teoria da medida generaliza e rigoriza o conceito de integral muito além do que Riemann permite. A integral de Lebesgue é necessidade para Análise Funcional, Probabilidade e EDPs. Escolha um dos três livros e consulte os demais como referência.
Livros
- σ-álgebras e espaços de medida
- Medida de Lebesgue em ℝⁿ
- Integral de Lebesgue e suas propriedades
- Teoremas de convergência: Monótona, Dominada, Fatou
- Espaços Lᵖ e desigualdades de Hölder e Minkowski
- Medidas produto e teorema de Fubini-Tonelli
Mínimo para avançaros tópicos acima, usando o Cohn como fio condutor
- Entende a diferença entre Riemann e Lebesgue e quando ela importa
- Aplica os três teoremas de convergência corretamente
- Trabalha com espaços Lᵖ e a desigualdade de Hölder
O estudo dos espaços vetoriais de dimensão infinita. Em dimensão finita a topologia não se faz tão necessária, o que não poderia ser mais falso em dimensão infinita. Disciplina extremamente elegante, porém exigente. Faça em seu ritmo. O livro de Botelho é excelente para self study e não são necessários muitos outros, a não ser que queira seguir especificamente na área de análise. Vale mencionar que foi recentemente publicado em inglês pela Springer com recepção muito positiva, o que reforça seu nível.
Livros
- Espaços normados e de Banach
- Espaços de Hilbert: ortogonalidade, bases de Schauder
- Operadores lineares limitados e o espaço dual
- Teorema de Hahn-Banach e suas consequências
- Teorema da aplicação aberta e do gráfico fechado
- Princípio da limitação uniforme
- Espectro de operadores lineares
Mínimo para avançaros tópicos acima. O Botelho cobre tudo que é necessário
- Entende o Teorema de Hahn-Banach e suas consequências geométricas
- Trabalha com operadores adjuntos em espaços de Hilbert
- Entende o espectro de um operador e a diferença para autovalores em dimensão finita
Teoria de Operadores é o estudo aprofundado de operadores lineares em espaços de Hilbert e Banach: C*-álgebras, espectro, operadores compactos, teoria espectral. É a área onde Análise Funcional atinge sua forma mais desenvolvida e onde se conecta com física matemática, teoria de representações e geometria não-comutativa.
Livros
- C*-álgebras: definição, exemplos e morfismos
- Teorema de Gelfand-Naimark
- Teorema espectral para operadores normais
- Operadores compactos e decomposição espectral
- Índice de Fredholm e operadores de Fredholm
Mínimo para avançaros tópicos acima pelo Murphy. Simon e Abramovich & Aliprantis são aprofundamento e consulta
- Entende a estrutura de uma C*-álgebra e sabe dar exemplos concretos
- Consegue enunciar e aplicar o teorema de Gelfand-Naimark
- Domina o teorema espectral para operadores normais em espaços de Hilbert
- Entende operadores compactos e sua relação com dimensão finita
Retorno à Análise Complexa com maturidade acumulada. Resultados mais profundos: convergência normal, famílias normais, o Teorema de Riemann sobre mapeamento, produtos infinitos e as primeiras ideias sobre superfícies de Riemann.
Livros
- Convergência normal e compacidade em espaços de funções analíticas
- Teorema de Montel e famílias normais
- Teorema de Riemann sobre mapeamento conforme
- Produto de Weierstrass para funções inteiras
- Funções meromorfas e teorema de Mittag-Leffler
- Introdução às superfícies de Riemann
Mínimo para avançaros tópicos acima. Ahlfors caps. 1–6 são o núcleo essencial
- Trabalha com convergência normal e famílias normais (Teorema de Montel)
- Entende o Teorema de Riemann sobre mapeamento
- Conhece o produto de Weierstrass para funções inteiras
A mecânica quântica, formulada matematicamente, é essencialmente teoria de operadores em espaços de Hilbert. O que foi estudado em Análise Funcional ganha aqui uma aplicação profunda e motivadora. Esta fase pressupõe os espaços de Hilbert bem consolidados.
Livros
Estudo mais rigoroso da álgebra abstrata por uma abordagem categórica. O livro é muito grande. Escolha os tópicos que lhe agradem e que sejam relevantes para a área que pretende seguir.
Livros
Primeiro contato com geometria diferencial clássica: curvas e superfícies no ℝ³, curvatura gaussiana, geodésicas e os dois grandes teoremas que conectam geometria local com topologia global: Egregium e Gauss-Bonnet. Base necessária antes de passar para as variedades abstratas.
Livros
- Curvas no ℝ³: curvatura, torção, fórmulas de Frenet
- Superfícies: primeira e segunda formas fundamentais
- Curvatura gaussiana e curvatura média
- Teorema Egregium de Gauss
- Geodésicas e equações geodésicas
- Teorema de Gauss-Bonnet
Mínimo para avançaros tópicos acima pelo Kühnel
- Calcula curvatura gaussiana e entende o Teorema Egregium
- Entende o enunciado do Teorema de Gauss-Bonnet e sua profundidade
- Tem intuição geométrica sólida sobre curvas e superfícies antes de abstrair
Contato com as variedades abstratas, espaços que localmente se parecem com ℝⁿ, mas podem ter topologia global complexa. O ambiente natural da física teórica, da geometria moderna e da topologia diferencial. O Tu é mais amigável para self study; o John M. Lee é a referência completa.
Livros
- Variedades diferenciáveis: atlas, cartas, estrutura suave
- Fibrado tangente e cotangente, campos vetoriais e fluxos
- Subvariedades e teorema da função implícita em variedades
- Formas diferenciais e operador exterior
- Orientação e integração em variedades
- Teorema de Stokes em variedades
Mínimo para avançaros tópicos acima pelo Tu
- Constrói exemplos de variedades com atlas explícito
- Trabalha com fibrado tangente e formas diferenciais com conforto
- Entende o Teorema de Stokes como resultado unificador em variedades
Introdução à linguagem de feixes e cohomologia no contexto das variedades diferenciáveis. O Wedhorn constrói a teoria de feixes de forma rigorosa e a aplica ao estudo de variedades, preparando o terreno para a geometria algébrica moderna e a geometria complexa.
Livros
Topologia Algébrica usa ferramentas algébricas para distinguir espaços topológicos. O grupo fundamental e a homologia contam buracos de diferentes dimensões. Teoria das Categorias entra aqui como linguagem unificadora, não antes, quando vira formalismo vazio sem exemplos suficientes.
Topologia Algébrica
Teoria das Categorias
Álgebra Comutativa é a linguagem da Geometria Algébrica. Anéis noetherianos, módulos, localização, completamento, dimensão de Krull. São os objetos desta fase aparecem em toda geometria algébrica moderna. Não é uma fase para ser apressada.
Livros
- Anéis noetherianos e artinianos
- Módulos: localização e completamento
- Ideais primários e decomposição primária
- Dimensão de Krull
- Lema de Nakayama
- Teorema dos zeros de Hilbert (Nullstellensatz)
Mínimo para avançaros tópicos acima pelo AM. Reid para suavizar a entrada
- Trabalha com localização e módulos com conforto
- Entende decomposição primária e dimensão de Krull
- Consegue enunciar e aplicar o Nullstellensatz
Geometria Algébrica estuda os conjuntos de zeros de sistemas de equações polinomiais, conectando álgebra comutativa, topologia e geometria de forma profunda. Esta fase cobre uma introdução acessível antes da referência avançada da fase seguinte.
Livros
A Geometria Algébrica no nível dos esquemas de Grothendieck: a linguagem moderna que unifica geometria, álgebra e aritmética numa só teoria.
Livros
- Grupo fundamental π₁ e cálculo em espaços simples
- Teoria de recobrimentos e levantamento de caminhos
- Homologia singular: definição e cálculo
- Sequência exata longa de um par
- Categorias, funtores e transformações naturais
- Adjunções e lema de Yoneda
Mínimo para avançaros tópicos acima. Um livro de topologia algébrica e um de categorias são suficientes
- Está preparado para ler artigos de pesquisa com conforto na sua área de escolha
- Tem base suficiente para um mestrado ou doutorado em matemática
Para continuar
Quer ir além?
Alguns recursos para quem terminou as fases e quer entrar em contato com matemática de pesquisa de verdade.
arXiv — math
arxiv.org/archive/mathO repositório padrão de preprints em matemática. Toda pesquisa relevante aparece aqui antes de ser publicada. Organizado por área: math.FA para análise funcional, math.AT para topologia algébrica, e assim por diante.
MathOverflow
mathoverflow.netFórum de perguntas e respostas em nível de pesquisa. Diferente do Stack Exchange, as questões aqui são feitas e respondidas por matemáticos profissionais. Útil tanto para aprender quanto para entender o que está sendo pesquisado.
Blog do Terence Tao
terrytao.wordpress.comUm dos melhores recursos gratuitos de matemática avançada disponíveis. Tao publica notas de cursos, expositórios sobre resultados recentes e discussões sobre técnicas de pesquisa com clareza excepcional.
Mathematics Stack Exchange
math.stackexchange.comPara dúvidas técnicas durante o estudo. Nível abaixo do MathOverflow, mais adequado para quem ainda está percorrendo as fases deste roadmap. O arquivo de respostas antigas é um recurso valioso por si só.
Encyclopedia of Mathematics
encyclopediaofmath.orgEnciclopédia matemática de acesso livre, originalmente publicada pela editora soviética e hoje mantida pela European Mathematical Society. Boa referência rápida para definições, teoremas e conexões entre áreas, especialmente nas fases mais avançadas.